からまでの整数のいずれか一つが書かれたカードが，各数に対して枚ずつ合計
枚ある．さんがカードを引いて，賞金を得るゲームをする．その規則は次のとおりで
ある．
円のゲーム代を払って，カードを枚引き，書いてある数がのとき，円
を受け取る．ここで，，は正の整数とする．
　確率変数の平均期待値はであり，分散はである．
　さんがカードを枚引いて受け取る金額からゲーム代を差し引いた金額を円と
　する．確率変数の平均をとするとき，をとを用いて表すと
　である．
　を満たす，の値の組の総数はである．その中で，の最小値は
　，最大値はである．
　の分散はである．したがって，のときの分散の最小値
　は，のとき起こり，である．

　　確率変数が，からまでそれぞれの値をとる確率は，すべてである
　　から，
　　
　　　であるから
　　
　　　から　
　　は正の整数であるから　は偶数　かつ　　すなわち　
　　は正の整数であるから　，，，……，
　　よって，，の組の総数は，の最小値は，最大値は
　　　
　　は正の整数であるから，が最小のとき，も最小となる．
　　よって，からの最小値はのとき起こり