自然数の数列，，，……からの倍数，の倍数，の倍数を取り除いて得られる
数列，，，……について，次のものを求めよ．
　以下の数の個数　　　　第項　　　　初項から項までの和

　　以下の自然数の中に，の倍数は個，の倍数は個，
　　　の倍数は個，の倍数は個，の倍数は個，の倍数は個，
　　　の倍数は個ある．
　　　よって，，，の少なくともつで割り切れる数の個数は
　　　　　　　
　　　ゆえに，求める個数は　　個

　　　　を自然数とすると，から題意の数列の以下の数の個数は個で
　　　ある．よって，余りであり，，であるから，
　　　第項までは以下にある．また，は題意の数列の項であるから，
　　　から番目の項が第項である．
　　　ゆえに，実際に求めていくと　　　，，，，……
　　　したがって，第項は　　

　　　　から，以下の自然数について考える．
　　　以下の自然数の中に，
　　　　　の倍数は個，　　の倍数は個，　　の倍数は個，
　　　　　の倍数は個，　　の倍数は個，　　の倍数は個，
　　　　の倍数は個
　　　あるから，，，の少なくともつで割り切れる数の総和は
　　　　
　　　
　　　また，以下の自然数の総和は　　　
　　　よって，求める和は